الرئيسية / رياضيات / الرياضيات والشطرنج || كم عدد حركات الشطرنج الممكنة؟

الرياضيات والشطرنج || كم عدد حركات الشطرنج الممكنة؟

الرياضيات والشطرنج || كم عدد حركات الشطرنج الممكنة؟
 
تُعَدُّ لعبة الشطرنج واحدةً من أقدم الألعاب، فقد وجدت منذ عدة قرون، وليس من الغريب أنها ترتبط بالكثير من الأساطير، تمَّ ابتكارها في الهند على يد معلم رياضيات اسمه (سيتا)، وعندما عرف الملك الهندي (شيرام) بهذه اللعبة اندهش لذكائها واعتمادها على التخطيط مع اختلاف الأوضاع الممكنة، ولذلك قرر أن يكافئ مخترعها بأن يحقق له أي رغبة كانت، جاء (سيتا) إلى الملك وأدهش القصر بتواضع طلبه، فقد طلب أن يعطى لأجل المربع الأول من لوحة الشطرنج حبة قمح واحدة (أي 0^2)، ولأجل المربع الثاني حبتين (أي 1^2) ، وللمربع الثالث 4 حبات (أي 2^2) وهكذا حتى يصل للمربع ذي الرقم (64) فيأخذ 63^2 حبة قمح عنه، أي أنه ولأجل مربع رقمه “n”، يأخذ (2^(n-1)) حبة قمح.
تضايق الملك من هذه الرغبة غير الجديرة بكرمه، وطلب من رياضيي القصر حساب عدد حبات القمح المطلوبة ويعطوها لـ(سيتا)، ومرت الأيام وطلبُ (سيتا) لم يُنَفَّذ، ذاك لأن رياضيي القصر لم ينهوا الحسابات المطلوبة، وبعد أيام امتثل كبير رياضيي القصر بين يدي الملك ليخبره بالمفاجأة: (ليس في سلطتك يا مولاي تنفيذ مثل هذه الرغبات، لأن عدد حبات القمح ضخم جدًا، ولا يوجد مثله في كل خزائن المملكة).
 
في الحقيقة؛ إن العدد ضخمٌ جدًا لدرجة أنه لو تحولت ممالك الأرض إلى مزارع، وجفت البحار والمحيطات، وغطيت مع الصحارى بحبات القمح، فلن نصل إلى هذا العدد العجيب الذي يساوي قرابة 18 بليون.
 
وهنا نجد أنه لو كان الملك قويًا في الرياضيات، لاستطاع أن يتحرر من هذا الطلب الثقيل بأن يطلب لـ(سيتا) أن يحسب بنفسه نصيبه من القمح، ولو وقعت مهمة الحساب على عاتق (سيتا) لما استطاع إتمامها مهما مر من الوقت.
 
لم تنتهِ حكاية الرياضيات والشطرنج هنا، فمع مرور الزمن وفي ظل قوة الرياضيات، قام الرياضيون ببرمجة الحواسيب لتتمكن من تأدية هذه اللعبة، وقبل أن تُبتَكَر الخوارزميات الخاصة بذلك؛ حاول العلماء الإجابة عن الأسئلة الآتية:
  • ما عدد ألعاب الشطرنج الممكنة؟
  • كيف نبرمج الحاسوب ليلعب الشطرنج؟
 
قام الرياضي كلود شانون (Claude Shannon) بتقدير عدد حركات الشطرنج الممكنة، وتوصل إلى أن عددها يساوي 120^10 (Shannon’s number)، وهذا العدد يفوق عدد الذرات في كوننا والمقدر ب 80^10!

كلود شانون (Claude Shannon)
 
كيف توصل شانون إلى هذه النتيجة؟
اعتبر شانون أنه بالمتوسط ولأجل أي حجر؛ يوجد حوالي (30) حركة قانونية يمكن القيام بها، فعدد الأماكن المتاحة مع أول حركة للأبيض هو (30)، ومع أول حركتين (30×30) أي (900)، ومع أول (3) حركات (30×30×30) …وهكذا.
وافترض شانون أن هناك (40) مرة سيلعب بها كل لاعب (أي 80 مرة لكلا اللاعبين)، وعليه يكون العدد النهائي لألعاب الشطرنج المتاحة هو 80^30 أي قرابة 120^10.
 
وإذا أردنا معرفة عدد ألعاب الشطرنج الممكنة بدقة؛ فإننا نبدأ مع أول حركة للأبيض حيث يكون عدد الحركات المتاحة هو (20) (لكل جندي حركة أو حركتان “جمعاً يكون 16″ ، ولكل حصان حركتان”جمعاً يكون 4”) ، وبعد أن يتحرك الأسود يصبح عدد الحركات المتاحة هو (20×20) أي (400)، ومع الحركة الثالثة يصبح الأمر أكثر تعقيدًا، إذ يكون عدد الحركات المتاحة (8902)، وبعد (4) حركات يصبح العدد (197742) …ومع ازدياد عدد الحركات التي يقوم بها اللاعب، يصبح الأمر غاية في التعقيد.
 
وإضافة إلى شانون؛ حاول الرياضي غودفري هاردي (Godfrey Hardy) أن يقدّر عدد ألعاب الشطرنج الممكنة، وكان تقديره مساويًا لـ(50^10)^10 وهو عدد يفوق العدد 120^10.
ولتخيل مدى ضخامة الأعداد الناتجة؛ دعونا نبسط الأمور قليلًا ونعتبر أن كل لاعب يسمح له بالقيام بـ(3) حركات لكل حجر بدلًا من (30)، عندئذ سيكون عدد حركات الشطرنج المتاحة هو (80^3) أي حوالي (40^10)، ولو لعب كل زوج من الأشخاص الشطرنج في كل يوم، ولو جمعنا جميع ألعاب الشطرنج التي أديت عبرت التاريخ لما وصلنا إلى جزء صغير من العدد (80^3).
 
فتخيلوا معي درجة تعقيدِ بناءِ نظامٍ قادرٍ على لعب هذه اللعبة والتفوق على الإنسان مع كل هذه الاحتمالات الممكنة! وتخيلوا أن الأرقام الضخمة لا تقتصر على العالم الذري، بل تتعدى ذلك لتدخل في لعبة قديمة حديثة هي الشطرنج.
 
إعداد: منوّر حريب
المصدر:
  1. الرياضيات المسلية – ياكوف بيريلمان
  2. (How many chess games are possible?(Numberphile